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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 44

Calcule a integral

int s i n (3 x) c o s (x) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica

sin (A) cos (B) = (1)/(2) [sin (A - B) + sin (A + B)]

Então, substituindo na integral, ficamos com

int s i n (3 x) c o s (x) d x = int (1)/(2) [sin (3 x - x) + sin (3 x + x)] d x = (1)/(2) int [sin (2 x) + sin (4 x)] d x

Podemos separar esta integral em duas da seguinte forma

(1)/(2) int [sin (2 x) + sin (4 x)] d x = (1)/(2) int sin (2 x) d x + (1)/(2) int sin (4 x) d x

Passo 2

Vamos calcular cada integral separadamente.

Calculando a primeira

int sin (2 x) d x

Seja u = 2 x , temos que d u // 2 = d x . Substituindo

int sin (2 x) d x = (1)/(2) int sin (u) d u = - (1)/(2) cos (u) = - (1)/(2) cos (2 x) + c_1

Calculando a segunda

int sin (4 x) d x

De forma análoga a primeira

int sin (4 x) d x = - (1)/(4) cos (4 x) + c_2

Passo 3

Agora, podemos substituir o que encontramos

(1)/(2) int sin (2 x) d x + (1)/(2) int sin (4 x) d x = (1)/(2) (- (1)/(2) cos (2 x) + c_1) + (1)/(2) (- (1)/(4) cos (4 x) + c_2) = - (1)/(4) cos (2 x) - (1)/(8) cos (4 x) + k

Note que uma constante somada com outra constante resulta em uma outra constante, a qual chamei de k

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int s i n (3 x) c o s (x) d x = - (1)/(4) cos (2 x) - (1)/(8) cos (4 x) + k

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