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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 47

Prove:

int s e n^n u d u = - (1)/(n) s e n^(n - 1) u c o s u + (n - 1)/(n) int s e n^(n - 2) u d u

Passo 1

Bom, primeiro precisaremos escrever a integral da seguinte maneira:

int s e n^n u d u = int s e n^(n - 1) u s e n u d u

Passo 2

A partir daí vamos aplicar integração por partes:

int w d v = w v - int v d w

E então chamaremos

w = s e n^(n - 1) u , d v = s e n u d u

Derivando w em relação a u e integrando dv em relação a u:

d w = (n - 1) s e n^(n - 2) u c o s u d u , v = - c o s u

Substituindo:

int s e n^(n - 1) u s e n u d u = - s e n^(n - 1) u c o s u + (n - 1) int c o s^2 u s e n^(n - 2) u d u

Pela relação trigonométrica:

s e n^2 x + c o s^2 x = 1

A última integral pode ser escrita como:

int c o s^2 u s e n^(n - 2) u d u = int (1 - s e n^2 u) s e n^(n - 2) u d u

Resolvendo o produto ficamos com:

int c o s^2 u s e n^(n - 2) u d u = int s e n^(n - 2) - s e n^n u d u

Expandindo a integral:

int c o s^2 u s e n^(n - 2) u d u = int s e n^(n - 2) d u - int s e n^n u d u

Substituindo na integral anterior:

int s e n^(n - 1) u s e n u d u = - s e n^(n - 1) u c o s u + (n - 1) int s e n^(n - 2) d u - (n - 1) int s e n^n u d u

Mas como podemos perceber, o último termo que apareceu:

(n - 1) int s e n^n u d u

É semelhante à integral que começamos a resolver, passando então esse termo pro lado esquerdo da igualdade:

(n - 1) int s e n^n u d u + int s e n^(n - 1) u s e n u d u = - s e n^(n - 1) u c o s u + (n - 1) int s e n^(n - 2) d u

E somando:

n int s e n^n u d u = - s e n^(n - 1) u c o s u + (n - 1) int s e n^(n - 2) d u

Passando n para o outro lado:

int s e n^n u d u = - (1)/(n) s e n^(n - 1) u c o s u + ((n - 1))/(n) int s e n^(n - 2) d u

E provamos a relação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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