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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 115

Se f   é uma função contínua, determine o valor da integral

I = ∫ 0 a f x d x f x + f a - x

Fazendo a substituição u = a - x e somando a integral resultante a I

Passo 1

Vamos seguir exatamente o que a questão pede. Beleza?

Fazendo a substituição u = a - x   ⇒ d u =   - d x e nossos limites de integração ficam:

x = 0   ⇒ u = a   e   x = a   ⇒ u = 0

Então, a nossa integral resultante é

I = ∫ 0 a f x d x f x + f a - x =   ∫ a 0 f a - u - d u f a - u + f u = -   ∫ a 0 f a - u d u f a - u + f u  

=       ∫ 0 a f a - x d u f a - x + f x    

Agora, vamos somar a I,

∫ 0 a f a - x d u f a - x + f x     + I =   ∫ 0 a f a - x d x f a - x + f x +   ∫ 0 a f x d x f x + f a - x

=   ∫ 0 a f a - x +   f x f a - x + f x d x   =   ∫ 0 a d x = a

Como adicionamos I     nas contas, teríamos,

2 I = a ⟹ I = a 2

Resposta

I = a 2

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