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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 19

Calcule a integral.

int e^(x + e^x) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos fazer uma manipulação na expressão primeiro:

int e^(x + e^x) d x = int e^x e^(e^x) d x

Vamos então tentar fazer uma Substituição agora, temos uma exponencial, podemos tentar fazer com que u seja essa exponencial, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = e^x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = e^x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int e^x e^(e^x) d x = int e^u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int e^x d x = e^x + C

Então ficamos com:

int e^u d u = e^u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = e^x :

int e^(x + e^x) d x = int e^u d u = e^(e^x) + C

Resposta

int e^(x + e^x) d x = e^(e^x) + C

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