Calcule a integral.

∫ e x + e x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos fazer uma manipulação na expressão primeiro:

∫ e x + e x d x = ∫ e x e e x d x

Vamos então tentar fazer uma Substituição agora, temos uma exponencial, podemos tentar fazer com que u seja essa exponencial, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = e x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = e x   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ e x e e x d x = ∫ e u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ e x d x = e x + C

Então ficamos com:

∫ e u d u = e u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = e x :

∫ e x + e x d x = ∫ e u d u = e e x + C

Resposta

∫ e x + e x d x = e e x + C

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