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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 22

Calcule a integral.

int (ln x)/(x sqrt(1 + (ln x) ²)) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um logaritmo tanto no denominador quanto no numerador, podemos tentar fazer com que u seja a expressão dentro da raiz do denominador que contém o logaritmo, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 1 + (ln x) ²

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 2 ln x (1)/(x) d x = (2 ln x)/(x) d x -> (ln x)/(x) d x = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (ln x)/(x sqrt(1 + (ln x) ²)) d x = int (d u)/(2 sqrt(u)) = int (u^(- (1)/(2)))/(2) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Então ficamos com:

int (u^(- (1)/(2)))/(2) d u = (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u = (1)/(2) * ((u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) + C = (1)/(2) * ((sqrt(u))/((1)/(2))) + C = (1)/(2) * 2 sqrt(u) + C = sqrt(u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 1 + (ln x) ² :

int (ln x)/(x sqrt(1 + (ln x) ²)) d x = int (u^(- (1)/(2)))/(2) d u = sqrt(u) + C = sqrt(1 + (ln x) ²) + C

Resposta

int (ln x)/(x sqrt(1 + (ln x) ²)) d x = sqrt(1 + (ln x) ²) + C

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