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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 16

Calcule a integral

int_((sqrt(2))/(3))^((2)/(3)) (d x)/(x^5 sqrt(9 x^2 - 1))

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

3 x = sec (theta)

x = (sec (theta))/(3)

Diferenciando, temos que

d x = (sec (theta) tan (theta))/(3) d theta

Tudo beleza?! Vamos calcular os novos limites de integração e substituir isso na nossa integral

theta_i n f e r i o r : sqrt(2) = sec (theta) :. theta = (pi)/(4)

theta_s u p e r i o r : 2 = sec (theta) :. theta = (pi)/(3)

int_((sqrt(2))/(3))^((2)/(3)) (d x)/(x^5 sqrt(9 x^2 - 1)) = int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (1)/((sec^5 (theta))/(3^5)) * (1)/(sqrt((9 sec^2 (theta))/(9) - 1)) (sec (theta) tan (theta))/(3) d theta = int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (3^5)/(sec^5 (theta)) * (1)/(sqrt(sec^2 (theta) - 1)) * (sec (theta) tan (theta))/(3) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sec^2 (theta) - 1 = tan^2 (theta) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (3^5)/(sec^5 (theta)) * (1)/(sqrt(sec^2 (theta) - 1)) * (sec (theta) tan (theta))/(3) d theta = int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (3^5)/(sec^5 (theta)) * (1)/(sqrt(tan^2 (theta))) * (sec (theta) tan (theta))/(3) d theta = 3^4 int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (sec (theta) tan (theta))/(sec^5 (theta) tan (theta)) d theta = 3^4 int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) (1)/(sec^4 (theta)) d theta = 3^4 int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) cos^4 (theta) d theta

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de forma indefinida e depois a gente aplica os limites de integração, vamos calcular pelo método de integração por partes

int cos^4 ( theta ) d theta

Seja u = cos^3 ( theta ) , temos que d u = - 3 cos^2 ( theta ) sin (theta) d theta

Seja d v = cos (theta) d theta , temos que v = sin (theta)

Então

int cos^4 ( theta ) d theta = cos^3 (theta) sin (theta) + 3 int cos^2 (theta) sin^2 (theta) d theta

Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sin^2 (theta) cos^2 (theta) = (1)/(8) [1 - cos (4 theta)] . Então, substituindo

cos^3 (theta) sin (theta) + 3 int cos^2 (theta) sin^2 (theta) d theta = cos^3 (theta) sin (theta) + (3)/(8) int [1 - cos (4 theta)] d theta = cos^3 (theta) sin (theta) + (3)/(8) [theta - (1)/(4) sin (4 theta)]

Agora, vamos aplicar os limites de integração

int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) cos^4 (theta) d theta = [cos^3 (theta) sin (theta) + (3)/(8) [theta - (1)/(4) sin (4 theta)]]_((pi)/(4))^((pi)/(3)) = (2 pi + 7 sqrt(3))/(64) - (1)/(4)

Passo 3

Agora, podemos calcular o valor da integral

3^4 int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) cos^4 (theta) d theta = 81 ((2 pi + 7 sqrt(3))/(64) - (1)/(4))

Resposta

int_((sqrt(2))/(3))^((2)/(3)) (d x)/(x^5 sqrt(9 x^2 - 1)) = 81 ((2 pi + 7 sqrt(3))/(64) - (1)/(4))

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