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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 29

Calcule a integral

int_()^() x sqrt(1 - x^4) d x

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema queremos calcular a integral

int_()^() x sqrt(1 - x^4) d x

Tem ideia de como fazemos isso? 😁

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Seja u = x^2 , temos que d u = 2 x d x , então, substituindo, ficamos com

int_()^() sqrt(1 - u^2) ((1)/(2) d u) = (1)/(2) int_()^() sqrt(1 - u^2) d u

Agora, seja u = s i n s i n (theta) , temos que d u = c o s c o s (theta) d theta , então substituindo

(1)/(2) int_()^() sqrt(1 - u^2) d u = (1)/(2) int_()^() sqrt(1 - (theta) ) c o s c o s (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: 1 = (theta) + (theta) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

(1)/(2) int_()^() sqrt(1 - (theta) ) c o s c o s (theta) d theta = (1)/(2) int_()^() sqrt((theta) ) c o s c o s (theta) d theta = (1)/(2) int_()^() (theta) d theta

Veja só! 😬

Passo 2

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar de outra propriedade trigonométrica, que é: (theta) = (1)/(2) [1 + c o s c o s (2 theta)] , então, podemos substituir isto na integral

(1)/(2) int_()^() (theta) d theta = (1)/(2) * (1)/(2) int_()^() (1 + c o s c o s (2 theta)) d theta = (1)/(4) [theta + (1)/(2) s i n s i n (2 theta)] + c

(1)/(2) int_()^() (theta) d theta = (1)/(4) theta + (1)/(4) s i n s i n (theta) c o s c o s (theta) + c

Agora, precisamos encontrar uma expressão para theta , s i n s i n (theta) e c o s c o s (theta) em função de u , lembra que dissemos que

u = s i n s i n (theta)

Temos que

theta = (u)

Da resolução da integral, vimos que

sqrt(1 - u^2) = c o s c o s (theta)

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para theta , s i n s i n (theta) e c o s c o s (theta) em função de u , podemos substituir

(1)/(4) theta + (1)/(4) s i n s i n (theta) c o s c o s (theta) + c = (1)/(4) (u) + (1)/(4) u sqrt(1 - u^2) + c

Calma que ainda não acabou, pra finalizar precisamos deixar tudo em função de x . Lá no inicio dissemos que

u = x^2

Agora é só substituir

(1)/(4) (u) + (1)/(4) u sqrt(1 - u^2) + c = (1)/(4) (x^2) + (1)/(4) x^2 sqrt(1 - x^4) + c

Portanto

int_()^() x sqrt(1 - x^4) d x = (1)/(4) (x^2) + (1)/(4) x^2 sqrt(1 - x^4) + c

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

int_()^() x sqrt(1 - x^4) d x = (1)/(4) (x^2) + (1)/(4) x^2 sqrt(1 - x^4) + c

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