Calcule a integral.

∫ 1 4 y 2 - 4 y - 3 d y

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão do denominador, vamos tentar então ajustar o denominador para uma forma de dois elementos ao quadrado:

∫ 1 4 y 2 - 4 y - 3 d y = ∫ 1 2 y - 1 2 - 2 2 d y

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 2 y - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 d y → d y = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 2 y - 1 2 - 2 2 d y = ∫ 1 2 u 2 - 2 2 d u

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ d x x 2 ± a 2 = ln ⁡ x + x 2 ± a 2 + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 2 u 2 - 2 2 d u = 1 2 ∫ 1 u 2 - 2 2 d u = 1 2 ln ⁡ u + u 2 - 2 2 + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta no que você usou no começo, que foi u = 2 y - 1 :

∫ 1 4 y 2 - 4 y - 3 d y = ∫ 1 2 u 2 - 2 2 d u = 1 2 ln ⁡ u + u 2 - 2 2 + C = 1 2 ln ⁡ 2 y - 1 + 2 y - 1 2 - 2 2 + C = 1 2 ln ⁡ 2 y - 1 + 4 y 2 - 4 y - 3 + C

Resposta

∫ 1 4 y 2 - 4 y - 3 d y = 1 2 ln ⁡ 2 y - 1 + 4 y 2 - 4 y - 3 + C

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