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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 40

Calcule a integral.

int (1)/(sqrt(4 y^2 - 4 y - 3)) d y

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão do denominador, vamos tentar então ajustar o denominador para uma forma de dois elementos ao quadrado:

int (1)/(sqrt(4 y^2 - 4 y - 3)) d y = int (1)/(sqrt((2 y - 1)^2 - 2^2)) d y

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 2 y - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 d y -> d y = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(sqrt((2 y - 1)^2 - 2^2)) d y = int (1)/(2 sqrt(u^2 - 2^2)) d u

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (d x)/(sqrt(x^2 +- a^2)) = ln |x + sqrt(x^2 +- a^2)| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(2 sqrt(u^2 - 2^2)) d u = (1)/(2) int (1)/(sqrt(u^2 - 2^2)) d u = (1)/(2) ln |u + sqrt(u^2 - 2^2)| + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta no que você usou no começo, que foi u = 2 y - 1 :

int (1)/(sqrt(4 y^2 - 4 y - 3)) d y = int (1)/(2 sqrt(u^2 - 2^2)) d u = (1)/(2) ln |u + sqrt(u^2 - 2^2)| + C = (1)/(2) ln |2 y - 1 + sqrt((2 y - 1)^2 - 2^2)| + C = (1)/(2) ln |2 y - 1 + sqrt(4 y^2 - 4 y - 3)| + C

Resposta

int (1)/(sqrt(4 y^2 - 4 y - 3)) d y = (1)/(2) ln |2 y - 1 + sqrt(4 y^2 - 4 y - 3)| + C

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