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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 20

Efetua a antidiferenciação.

int (x^3 + 3)^(1 // 4) x^5 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral (primitiva). Antes de tentar alguma substituição, vamos brincar um pouco:

I = int (x^3 + 3)^(1 // 4) x^5 d x = int (x^3 + 3)^(1 // 4) x^3 * x^2 d x

Agora fazemos t = x^3 + 3 , de modo que x^3 = t - 3 . Além disso,

d t = 3 x^2 d x => x^2 d x = (d t)/(3)

Assim,

I = (1)/(3) int t^(1 // 4) (t - 3) d t

Passo 2

Desta forma, temos que

I = (1)/(3) int (t^((5)/(4)) - 3 t^((1)/(4))) d t

Agora podemos calcular a integral:

I = (1)/(3) ((4)/(9) t^((9)/(4)) - 3 * (4)/(5) t^((5)/(4))) + C

Lembrando que t = x^3 + 3 , temos finalmente que

I = (4)/(27) (x^3 + 3)^((9)/(4)) - (4)/(5) (x^3 + 3)^((5)/(4)) + C

Resposta

(4)/(27) (x^3 + 3)^((9)/(4)) - (4)/(5) (x^3 + 3)^((5)/(4)) + C

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