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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 32

Calcule a integral definida

int_(- 3)^2 (3 x^3 - 24 x^2 + 48 x + 5)/((x - 4) ²) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

int_(- 3)^2 (3 x^3 - 24 x^2 + 48 x + 5)/((x - 4) ²) d x

Sabendo que (3 x^3 - 24 x^2 + 48 x + 5)/((x - 4)^2) = 3 x + (5)/((x - 4)^2)

Logo nossa integral fica

int_(- 3)^2 3 x + (5)/((x - 4)^2) d x = int_(- 3)^2 3 x d x + int_(- 3)^2 (5)/((x - 4)^2) d x

(3)/(2) x² + int_(- 3)^2 (5)/((x - 4)^2) d x

Fazendo por substituição

u = x - 4

d u = d x

int_()^() (5)/((x - 4)^2) d x = int_()^() (5)/((u)^2) d u = - 5 u^(- 1)

Voltando para x

- 5 u^(- 1) = - 5 (x - 4)^(- 1)

Passo 3

Logo nossa integração fica :

(3)/(2) x^2 - 5 (x - 4)^(- 1) , x v a r i a n d o e n t r e [2 , - 3]

(3)/(2) (2^2 - (- 3)^2) - 5 ((1)/(- 2) - (1)/(- 7))

Resposta

int_(- 3)^2 (3 x^3 - 24 x^2 + 48 x + 5)/((x - 4) ²) d x = - (40)/(7)

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