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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 37

Utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral.

∫ 1 x 2 + 2 x + 5   d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 x 2 + 2 x + 5   d x

Observe que antes disso, podemos simplificar, completando o quadrado. Assim:

∫ 1 x 2 + 2 x + 5   d x = ∫ 1 x + 1 2 + 4 d x

Logo:

u = x + 1   d u = d x  

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ 1 x + 1 2 + 2 2 d x =   ∫ 1 2 2 + u 2 d x

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração dada por:

∫ 1 a 2 + x 2   d x = ln ⁡ x + a 2 + x 2   + C

Assim:

∫ d x 2 2 + u 2 = ln ⁡ u + 4 + u 2   + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

ln ⁡ u + 4 + u 2   + C = ln ⁡ ( x + 1   ⁡ + 4 + ( x + 1 ⁡ ) 2   ) + C =   ln ⁡ ( x + 1 ⁡ + x 2 + 2 x + 5   ) + C

Resposta

ln ⁡ ( x + 1 ⁡ + x 2 + 2 x + 5   ) + C

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