Calcule a integral.

∫ 1 + x 1 - x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer umas manipulações, como temos uma raiz no denominador, vamos multiplicar e dividir pelo seu conjugado, assim:

∫ 1 + x 1 - x d x = ∫ 1 + x 1 - x ∙ 1 + x 1 + x d x = ∫ 1 + x 1 - x 2 d x

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Vamos separar as expressões do numerador:

∫ 1 + x 1 - x 2 d x = ∫ 1 1 - x 2 + x 1 - x 2 d x = ∫ 1 1 - x 2 d x + ∫ x 1 - x 2 d x

Passo 2

Vamos calcular as integrais separadamente. A primeira é fácil, já tá na forma de uma das integrais indefinidas da tabela:

∫ d x a 2 - x 2 = sen - 1 ⁡ x a + C

Assim:

∫ 1 1 - x 2 d x = sen - 1 ⁡ x 1 + C = sen - 1 ⁡ x + C

Vamos achar a segunda usando Substituição, podemos tentar fazer com que u seja a expressão do denominador dentro da raiz, vamos lá:

u = 1 - x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 2 x   d x → x   d x = - d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 1 - x 2 d x = ∫ - d u 2 u = ∫ - u - 1 2 2 d u

Para achar a primitiva da função, vamos usar duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ - u - 1 2 2 d u = - 1 2 ∫ u - 1 2 d = - 1 2 ∙ u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = - 1 2 ∙ u 1 2 + C = - u + C

Passo 3

Agora é só juntar tudo:

∫ 1 + x 1 - x 2 d x = ∫ 1 1 - x 2 d x + ∫ x 1 - x 2 d x = sen - 1 ⁡ x - u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, que foi u = 1 - x 2 :

∫ 1 + x 1 - x d x = sen - 1 ⁡ x - u + C = sen - 1 ⁡ x - 1 - x 2 + C

Resposta

∫ 1 + x 1 - x d x = sen - 1 ⁡ x - 1 - x 2 + C

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