Calcule a integral

int (x e^x)/(sqrt(1 + e^x)) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Iremos fazer a seguinte substituição

y = sqrt(1 + e^x) ; y^2 = 1 + e^x ; 2 d y = e^x d x ; e^x = y^2 - 1 ; x = ln (y^2 - 1)

int (x e^x)/(sqrt(1 + e^x)) d x = int (ln (y^2 - 1))/(y) (2 y d y) = 2 int [ln (y + 1) + ln (y - 1)] d y

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

2 int [ln (y + 1) + ln (y - 1)] d y = 2 [(y + 1) ln (y + 1) - (y + 1) + (y - 1) ln (y - 1) - (y - 1)] + C

Voltando para x , temos

2 [(y + 1) ln (y + 1) - (y + 1) + (y - 1) ln (y - 1) - (y - 1)] + C = 2 (x - 2) sqrt(1 + e^x) + 2 ln (sqrt(1 + e^x) + 1)/(sqrt(1 + e^x) - 1) + C

Resposta

int (x e^x)/(sqrt(1 + e^x)) d x = 2 (x - 2) sqrt(1 + e^x) + 2 ln (sqrt(1 + e^x) + 1)/(sqrt(1 + e^x) - 1) + C

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