h) ∫ x 2 x + 1 d x

Passo 1

Podemos fazer uma substituição de variável para tentar trabalhar melhor com o denominador!

I = ∫ x 2 x + 1 d x

Então vamos fazer o seguinte:

u = x + 1 → x = u - 1

Derivando,

d u = d x

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 2

Então nossa integral vai ficar assim:

I = ∫ x 2 x + 1 d x = ∫ u - 1 2 u d u

Isto é:

I = ∫ u - 1 2 u d u = ∫ u 2 - 2 u + 1 u d u = ∫ u   d u + ∫ - 2 d u + ∫ 1 u d u

Agora vamos resolver cada uma individualmente!

I 1 = ∫ u   d u = u 2 2 + c 1

I 2 = ∫ - 2   d u = - 2 ⋅ ∫ d u = - 2 u + c 2

I 3 = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + c 3

Passo 3

Agora é só juntar as três integrais!

I 1 = u 2 2 + c 1

I 2 = - 2 u + c 2

I 3 = ln ⁡ u + c 3

Vai ficar assim:

I = I 1 + I 2 + I 3 = u 2 2 + c 1 + - 2 u + c 2 + ln ⁡ u + c 3  

Além disso, podemos juntar as duas constantes!

I = u 2 2 - 2 u + ln ⁡ u + c

Voltando para variável x :

I = ( x + 1 ) 2 2 - 2 ( x + 1 ) + ln ⁡ ( x + 1 ) + c

Resposta

( x + 1 ) 2 2 - 2 ( x + 1 ) + ln ⁡ ( x + 1 ) + c

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