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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 4h

h) int (x^2)/(x + 1) d x

Passo 1

Podemos fazer uma substituição de variável para tentar trabalhar melhor com o denominador!

I = int (x^2)/(x + 1) d x

Então vamos fazer o seguinte:

u = x + 1 -> x = u - 1

Derivando,

d u = d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 2

Então nossa integral vai ficar assim:

I = int (x^2)/(x + 1) d x = int ((u - 1)^2)/(u) d u

Isto é:

I = int ((u - 1)^2)/(u) d u = int (u^2 - 2 u + 1)/(u) d u = int u d u + int - 2 d u + int (1)/(u) d u

Agora vamos resolver cada uma individualmente!

I_1 = int u d u = (u^2)/(2) + c_1

I_2 = int - 2 d u = (- 2) * int d u = - 2 u + c_2

I_3 = int (1)/(u) d u = ln |u| + c_3

Passo 3

Agora é só juntar as três integrais!

I_1 = (u^2)/(2) + c_1

I_2 = - 2 u + c_2

I_3 = ln |u| + c_3

Vai ficar assim:

I = I_1 + I_2 + I_3 = ((u^2)/(2) + c_1) + (- 2 u + c_2) + (ln |u| + c_3)

Além disso, podemos juntar as duas constantes!

I = (u^2)/(2) - 2 u + ln |u| + c

Voltando para variável x :

I = (( x + 1 )^2)/(2) - 2 ( x + 1 ) + ln |( x + 1 )| + c

Resposta

(( x + 1 )^2)/(2) - 2 ( x + 1 ) + ln |( x + 1 )| + c

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