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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 4d

d) int (x + (3)/(x - 2)) d x

Passo 1

Primeiro vamos dividir nossa integral em duas pra ficar mais fácil!

I = int (x + (3)/(x - 2)) d x = int x d x + int (3)/(x - 2) d x

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1 e int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 2

Agora vamos resolver cada uma individualmente!

I_1 = int x d x = (x^2)/(2) + c_1

I_2 = int (3)/(x - 2) d x

Para resolver a segunda, podemos fazer a seguinte substituição:

u = x - 2

Derivando,

d u = d x

Logo,

I_2 = int (3)/(x - 2) d x = int (3)/(u) d u = 3 * int (d u)/(u) = 3 * l n | u | + c_2

Passo 3

Voltando para variável x :

I_2 = 3 * ln |x - 2| + c_2

Agora é só juntar as duas integrais!

I = I_1 + I_2 = (x^2)/(2) + c_1 + 3 * ln |x - 2| + c_2

Além disso, podemos juntar as duas constantes!

I = (x^2)/(2) + 3 * ln |x - 2| + c

Resposta

(x^2)/(2) + 3 * ln |x - 2| + c

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