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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 4f

f) int (x + 2)/(x - 1) d x

Passo 1

Podemos fazer um truque que usamos em diversas questões, olha só:

I = int (x + 2)/(x - 1) d x

Vamos tentar fazer alguma coisa com o numerador pra ajudar a gente!

(x + 2)/(x - 1) = (x - 1 + 3)/(x - 1)

Viu que podemos escrever desse jeito?!

(x - 1 + 3)/(x - 1) = (x - 1)/(x - 1) + (3)/(x - 1) = 1 + (3)/(x - 1)

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 2

Então nossa integral vai ficar assim:

I = int (x + 2)/(x - 1) d x = int ( 1 + (3)/(x - 1) ) d x

Dividindo em duas partes:

I = int d x + int (3)/(x - 1) d x = I_1 + I_2

Agora vamos resolver cada uma individualmente!

I_1 = int d x = x + c_1

I_2 = int (3)/(x - 1) d x = 3 * int (1)/(x - 1) d x = 3 * ln |x - 1| + c_2

Passo 3

Agora vamos juntar as duas integrais!

I_1 = x + c_1

I_2 = 3 * ln |x - 1| + c_2

I = I_1 + I_2 = x + c_1 + 3 * ln |x - 1| + c_2

Além disso, podemos juntar as duas constantes!

I = x + 3 * ln |x - 1| + c

Resposta

x + 3 * ln |x - 1| + c

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