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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 5

5) Suponha α ,   β ,   m   e   n constantes com α ≠ β . Mostre que existem constante A e B tais que

m x + n x - α ⋅ x - β = A x - α + B x - β

Passo 1

Primeiro vamos arrumar o lado direito:

A x - α + B x - β

--- os denominadores:

A x - α ⋅ x - β x - β + B x - β ⋅ x - α x - α

Fazendo a distributiva:

A x - A ⋅ β + B x - B ⋅ α x - α ⋅ ( x - β )

Passo 2

Organizado temos:

( A + B ) x - A ⋅ β - B ⋅ α x - α ⋅ ( x - β )

Agora vamos igualar isso ao lado esquerdo:

m x + n x - α ⋅ x - β = ( A + B ) x - A ⋅ β - B ⋅ α x - α ⋅ ( x - β )

Para x ≠ α e x ≠ β , podemos simplificar o denominado!

m x + n = ( A + B ) x - A ⋅ β - B ⋅ α

Passo 3

Agora é só comparar os coeficientes:

m x + n = ( A + B ) x - A ⋅ β - B ⋅ α

m = A + B       ( i ) n =   - A ⋅ β - B ⋅ α       ( i i )

De ( i ) :

A = m - B

Substituindo em ( i i ) :

n =   - m - B β - B α =   - m β + B β - B α =   - m β + B ( β - α   )

Finalizando:

B = n + m β β - α

De i :

A = m - n + m β β - α = - m α + n β - α

Logo, existem constantes A e B que satisfazem a condição do enunciado, uma vez que α ≠ β e α ,   β ,   m   e   n são constantes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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