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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 44

Calcule a integral.

int sqrt(1 + e^x) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma função exponencial dentro da raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sqrt(1 + e^x) -> u^2 = 1 + e^x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = e^x d x = (u^2 - 1) d x -> d x = (2 u d u)/(u^2 - 1)

Fazendo a substituição ficamos com:

int sqrt(1 + e^x) d x = int (2 u^2)/(u^2 - 1) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos manipular um pouco a expressão:

int (2 u^2)/(u^2 - 1) d u = int 2 + (2)/(u^2 - 1) d u = int 2 + (1)/(u - 1) - (1)/(u + 1) d u = int 2 d u + int (1)/(u - 1) d u + int - (1)/(u + 1) d u

Vamos calcular as três separadamente:

Com a primeira usamos:

int k d x = k x + C

Assim:

int 2 d u = 2 u + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

v = u - 1

d v = d u

Assim:

int (1)/(u - 1) d u = int (1)/(v) d v

Agora é simples, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então ficamos com:

int (1)/(v) d v = ln |v| + C

A terceira é similar a segunda:

v = u + 1

d v = d u

Assim:

int - (1)/(u + 1) d u = - int (1)/(v) d v

Agora é simples, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então ficamos com:

- int (1)/(v) d v = - ln |v| + C

Passo 3

Vamos agora juntar tudo:

int 2 d u + int (1)/(u - 1) d u + int - (1)/(u + 1) d u = 2 u + ln |v| - ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou:

int sqrt(1 + e^x) d x = int 2 d u + int (1)/(u - 1) d u + int - (1)/(u + 1) d u = 2 u + ln |v| - ln |v| + C = 2 sqrt(1 + e^x) + ln |u - 1| - ln |u + 1| + C = 2 sqrt(1 + e^x) + ln |sqrt(1 + e^x) - 1| - ln |sqrt(1 + e^x) + 1| + C

Resposta

int sqrt(1 + e^x) d x = 2 sqrt(1 + e^x) + ln |sqrt(1 + e^x) - 1| - ln |sqrt(1 + e^x) + 1| + C

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