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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 30

Calcule a integral

int_0^((pi)/(2)) (cos (t))/(sqrt(1 + sin^2 (t))) d t

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral.

Sugiro dizer que

u = sin (t)

Diferenciando, temos que

d u = cos (t) d t

Passo 2

Tudo beleza?! Então vamos calcular os novos limites de integração e substituir isso na nossa integral

u_i n f e r i o r = sin (0) = 0

u_s u p e r i o r = sin ((pi)/(2)) = 1

int_0^((pi)/(2)) (cos (t))/(sqrt(1 + sin^2 (t))) d t = int_0^1 (1)/(sqrt(1 + u^2)) d u

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição trigonométrica, pra isso, vamos dizer que

u = tan (theta)

Diferenciando, temos que

d u = sec^2 (theta) d theta

Então, vamos calcular os novos limites de integração e substituir na integral

theta_i n f e r i o r : 0 = tan (theta) :. theta = 0

theta_s u p e r i o r : 1 = tan (theta) :. theta = pi // 4

int_0^1 (1)/(sqrt(1 + u^2)) d u = int_0^((pi)/(4)) (1)/(sqrt(1 + tan^2 (theta))) sec^2 (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: 1 + tan^2 (theta) = sec^2 (theta) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int_0^((pi)/(4)) (1)/(sqrt(1 + tan^2 (theta))) sec^2 (theta) d theta

= int_0^((pi)/(4)) (1)/(sqrt(sec^2 (theta))) sec^2 (theta) d theta

= int_0^((pi)/(4)) sec (theta) d theta

Passo 4

Esta integral é tabelada e temos que

int_0^((pi)/(4)) sec (theta) d theta = [ln |sec (theta) + tan (theta)|]_0^((pi)/(4))

= ln (sqrt(2) + 1) - ln (1 + 0)

= ln (sqrt(2) + 1)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) (cos (t))/(sqrt(1 + sin^2 (t))) d t = ln (sqrt(2) + 1)

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