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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 73

Calcule a integral

int (x + a r c s e n x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a seguinte substituição trigonométrica, temos

x = s e n theta ; theta = a r c s e n theta ; d theta = (1)/(sqrt(1 - x^2))

int (x + a r c s e n x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = int ( s e n theta + theta ) d theta

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

int ( s e n theta + theta ) d theta = - cos theta + (theta^2)/(2) + C

Utilizando o seguinte triângulo, podemos voltar para x

- cos theta + (theta^2)/(2) + C = - sqrt(1 - x^2) + ((s e n^(- 1) x)^2)/(2) + C

Resposta

int (x + a r c s e n x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - sqrt(1 - x^2) + ((s e n^(- 1) x)^2)/(2) + C

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