Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 69

Calcule a integral

int_1^(sqrt(3)) (sqrt(1 + x^2))/(x^2) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a seguinte substituição trigonométrica, temos

x = tan theta ; d x = sec^2 theta d theta

int_1^(sqrt(3)) (sqrt(1 + x^2))/(x^2) d x = int_(pi // 4)^(pi // 3) (sec theta)/(tan^2 theta) sec^2 theta d theta

Podemos simplificar a integral utilizando as relações trigonométricas, ficando com

int_(pi // 4)^(pi // 3) (sec theta (tan^2 theta + 1))/(tan^2 theta) d theta = int_(pi // 4)^(pi // 3) (sec theta + csc theta cot theta) d theta

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

int_(pi // 4)^(pi // 3) (sec theta + csc theta cot theta) d theta = [ln |sec theta + tan theta| - csc theta]_(pi // 4)^(pi // 3) = sqrt(2) - (2)/(sqrt(3)) + ln (2 + sqrt(3)) - ln (1 + sqrt(2))

Resposta

int_1^(sqrt(3)) (sqrt(1 + x^2))/(x^2) d x = sqrt(2) - (2)/(sqrt(3)) + ln (2 + sqrt(3)) - ln (1 + sqrt(2))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais. ∫ 1 e d y y 1 + ln ⁡ y 2
Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais. ∫ 1 - ln ⁡ x 2 x ln ⁡ x d x
Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais. ∫ x 1 - x d x
Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais. ∫ x 1 - x 3 d x
Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais. ∫ 4 - x x d x