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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 62

Calcule a integral

int (1)/(x + root(3)(x)) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizaremos a seguinte substituição

u = root(3)(x) ; x = u^3 ; d x = 3 u^2 d u

int (1)/(x + root(3)(x)) d x = int (3 u^2)/(u^3 + u) d u

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

int (3 u^2)/(u^3 + u) d u = (3)/(2) int (2 u d u)/(u^2 + 1)

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

(3)/(2) int (2 u d u)/(u^2 + 1) = (3)/(2) ln (u^2 + 1) + C

Voltando para x temos então nossa resposta

(3)/(2) ln (u^2 + 1) + C = (3)/(2) ln (root(3)(x)^2 + 1) + C

Resposta

int (1)/(x + root(3)(x)) d x = (3)/(2) ln (root(3)(x)^2 + 1) + C

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