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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10f

10. Calcule

f ) int (1)/(x (ln x)^2) d x

Passo 1

Podemos perceber que (1)/(x) é a derivada de ln x . Ou seja, podemos fazer

u = ln x => d u = (1)/(x) d x

Arrumando a integral podemos ver melhor o d u

int (1)/(x (ln x)^2) d x = int (1)/((ln x)^2) ((1)/(x) d x)

Substituindo

int (1)/((ln x)^2) ((1)/(x) d x) = int (1)/(u^2) d u

Passo 2

Lembrando que int x^(alpha) d x = (x^(alpha + 1))/(alpha + 1) + k

int (1)/(u^2) d u = int u^(- 2) d u = (1)/((- 1)) u^(- 1) + k = - (1)/(u) + k = - (1)/(ln x) + k

Resposta

Portanto,

int (1)/(x (ln x)^2) d x = - (1)/(ln x) + k

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