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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 18

Calcule a integral int ( r^2 + r + 1 ) . e^r d r usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

No entanto, caso haja repetições de integração por partes utilizamos uma maneira mais organizada e que facilita os cálculos, que é a integração tabular.

Passo 2

Separamos int ( r^2 + r + 1 ) . e^r d r em f(x) = ( r^2 + r + 1 ) e g(x) = e^r ,e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Passo 3

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

int ( r^2 + r + 1 ) . e^r d r = ( r^2 + r + 1 ) . e^r - ( 2 r + 1 ) . e^r + 2 . e^r

= e^r [( r^2 + r + 1 ) - ( 2 r + 1 ) + 2]

= e^r [r^2 + r + 1 - 2 r - 1 + 2]

= e^r [r^2 - r + 2] + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int ( r^2 + r + 1 ) . e^r d r = e^r [r^2 - r + 2] + c

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