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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 51

Calcule a integral.

int (1)/(x sqrt(4 x^2 + 1)) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: bem, vamos fazer uma substituição usando 2 x = tg theta :

x = (tg theta)/(2) -> theta = tg^(- 1) 2 x

Derivando temos:

d x = (sec^2 theta)/(2) d theta

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x sqrt(4 x^2 + 1)) d x = int (1)/((tg theta)/(2) sqrt(4 ((tg theta)/(2))^2 + 1)) (sec^2 theta)/(2) d theta = int (sec^2 theta)/(tg theta sqrt(tg^2 theta + 1)) d theta = int (sec^2 theta)/(tg theta sqrt(sec^2 theta)) d theta = int (sec^2 theta)/(tg theta sec theta) d theta = int (sec theta)/(tg theta) d theta = int cossec theta d theta

Lembrando que aqui usamos a identidade: tg^2 theta + 1 = sec^2 theta .

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cossec x d x = ln |cossec x - cotg x| + C

Agora é só aplicar:

int cossec theta d theta = ln |cossec theta - cotg theta| + C

Passo 3

Voltando a expressão inicial temos:

int (1)/(x sqrt(4 x^2 + 1)) d x = int cossec theta d theta = ln |cossec theta - cotg theta| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , temos que theta = tg^(- 1) 2 x :

int (1)/(x sqrt(4 x^2 + 1)) d x = ln |cossec theta - cotg theta| + C = ln |cossec (tg^(- 1) 2 x) - cotg (tg^(- 1) 2 x)| + C

Resposta

int (1)/(x sqrt(4 x^2 + 1)) d x = ln |cossec (tg^(- 1) 2 x) - cotg (tg^(- 1) 2 x)| + C

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