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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 16

Calcule a integral int p^4 . e^(- p) d p usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

No entanto, caso haja repetições de integração por partes utilizamos uma maneira mais organizada e que facilita os cálculos, que é a integração tabular.

Passo 2

Separamos int p^4 . e^(- p) d p em f(x) = p^4 e g(x) = e^(- p) ,e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Observe que para integrar g(x) foi utilizada a fórmula : int e^(a x) d x = (1)/(a) . e^(a x)

Passo 3

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

int p^4 . e^(- p) d p = p^4 . (- e^(- p)) - 4 p^3 . e^(- p) + 12 p^2 . (- e^(- p)) - 24 p . e^(- p) + 24 . ( - e^(- p) )

= - p^4 . e^(- p) - 4 p^3 . e^(- p) - 12 p^2 . e^(- p) - 24 p . e^(- p) - 24 . e^(- p)

= e^(- p) (- p^4 - 4 p^3 - 12 p^2 - 24 p - 24) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int p^4 . e^(- p) d p = e^(- p) (- p^4 - 4 p^3 - 12 p^2 - 24 p - 24) + c

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