Calcule a integral ∫ 4 x . s e c 2 2 x   d x usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Para facilitar os cálculos nessa questão, iremos substituir 2x por “y” e no final colocar novamente em função de “x”

∫ 4 x . s e c 2 2 x   d x = ∫ 2 y . s e c 2 y   d y

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   2 y    

Pois é o valor mais simples de derivar.

  d u   =   ( 2 y ) ’ .   d y

d u   =   2   d y

d v   =   s e c 2 y   d y

v = ∫ s e c 2 y   d y

v   =   t g   y

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ 2 y . s e c 2 y   d y = 2 y . t g   y -   ∫ t g   y .   2   d y

= 2 y . t g   y -   2 . ∫ t g   y   d y

Para poder resolver ∫ t g   y   d y utilizamos o método da substituição:

∫ t g   y   d y = ∫ s e n   y cos ⁡ y d y

w   =   c o s   y                                                            

d w   =   ( c o s   y ) ’

d w   =   - s e n   y   d y

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que - 1 - 1 é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

- 1 - 1   ∫ s e n   y cos ⁡ y d y

= - ∫ - s e n   y cos ⁡ y d y

substituituimos w = cos y e dw = - s e n   y dx

= - ∫ 1 w d w

= -   l n w

Por fim retornamos para o valor original

= -   l n cos ⁡ y  

E agora é só colocar esse resultado no lugar de ∫ t g   y   d y

∫ 2 y . s e c 2 y   d y = 2 y . t g   y -   2 . ∫ t g   y   d y

= 2 y . t g   y   -   2 . -   l n cos ⁡ y  

= 2 y . t g   y   + 2 .   l n cos ⁡ y  

Por último fazemos a substituição de “y” por 2x:

=   2.2 x . t g   2 x   + 2 .   l n cos ⁡ 2 x  

=   4 x . t g   2 x   + 2 .   l n cos ⁡ 2 x   + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ 4 x . s e c 2 2 x   d x =   4 x . t g   2 x   + 2 .   l n cos ⁡ 2 x   + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados