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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 14

Calcule a integral int 4 x . s e c^2 2 x d x usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Para facilitar os cálculos nessa questão, iremos substituir 2x por “y” e no final colocar novamente em função de “x”

int 4 x . s e c^2 2 x d x = int 2 y . s e c^2 y d y

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = 2 y

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u = ( 2 y ) ’ . d y

d u = 2 d y

d v = s e c^2 y d y

v = int s e c^2 y d y

v = t g y

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int 2 y . s e c^2 y d y = 2 y . t g y - int t g y . 2 d y

= 2 y . t g y - 2 . int t g y d y

Para poder resolver int t g y d y utilizamos o método da substituição:

int t g y d y = int (s e n y)/(cos y) d y

w = c o s y

d w = ( c o s y ) ’

d w = - s e n y d y

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que (- 1)/(- 1) é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

(- 1)/(- 1) int (s e n y)/(cos y) d y

= - int (- s e n y)/(cos y) d y

substituituimos w = cos y e dw = - s e n y dx

= - int (1)/(w) d w

= - l n |w|

Por fim retornamos para o valor original

= - l n |cos y|

E agora é só colocar esse resultado no lugar de int t g y d y

int 2 y . s e c^2 y d y = 2 y . t g y - 2 . int t g y d y

= 2 y . t g y - 2 . (- l n |cos y|)

= 2 y . t g y + 2 . l n |cos y|

Por último fazemos a substituição de “y” por 2x:

= 2.2 x . t g 2 x + 2 . l n |cos 2 x|

= 4 x . t g 2 x + 2 . l n |cos 2 x| + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int 4 x . s e c^2 2 x d x = 4 x . t g 2 x + 2 . l n |cos 2 x| + c

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