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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10m

10. Calcule

m ) int (2 x + 3)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x

Passo 1

Primeiro, vamos separar essa integral em duas

int (2 x + 3)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = int (2 x)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x + int (3)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x

Passo 2

Resolvendo a primeira integral, percebemos que se derivarmos o termo dentro da raiz, teremos algo parecido com o valor no numerador. Então, fazendo

u = 1 - 4 x^2 => d u = - 8 x d x => x d x = - (d u)/(8)

Substituindo na integral

int (2 x)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = 2 int (x)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = 2 int - (1)/(sqrt(u)) (d u)/(8) = - 2 (1)/(8) int (1)/(u^((1)/(2))) d u = - (1)/(4) int u^(- (1)/(2)) d u

Lembrando que int x^(alpha) d x = (x^(alpha + 1))/(alpha + 1) + k . Então,

- (1)/(4) int u^(- (1)/(2)) d u = - (1)/(4) (1)/(((1)/(2))) u^((1)/(2)) + k = - (1)/(4) 2 sqrt(u) + k = - (1)/(2) sqrt(1 - 4 x^2) + k

Passo 3

Agora, para a segunda integral. Vemos que essa integral é do tipo int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = sin^(- 1) x + k . No entanto, precisamos fazer alguns ajustes.

int (3)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = int (3)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) d x = 3 int (1)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) d x

Agora, para fica igual, faremos

u = 2 x => d u = 2 d x => d x = (d u)/(2)

Substituindo na integral

3 int (1)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) d x = 3 int (1)/(sqrt(1 - u^2)) (d u)/(2) = (3)/(2) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Resolvendo essa integral

(3)/(2) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u = (3)/(2) sin^(- 1) u + k = (3)/(2) sin^(- 1) 2 x + k

Passo 4

Juntando os resultados obtidos

int (2 x)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x + int (3)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = - (1)/(2) sqrt(1 - 4 x^2) + (3)/(2) sin^(- 1) 2 x + k

Resposta

Portanto,

int (2 x + 3)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = - (1)/(2) sqrt(1 - 4 x^2) + (3)/(2) sin^(- 1) 2 x + k

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