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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 88

Calcule a integral definida.

int_0^(pi // 1 2) (1)/(cos^4 3 x) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^(pi // 12) (1)/(cos^4 3 x) d x

O primeiro passo é fazer a mudança t = 3 x . Assim, d t = 3 d x :

I = (1)/(3) int_0^(pi // 4) (1)/(cos^4 t) d t = (1)/(3) int_0^(pi // 4) sec^4 t d t

Passo 2

Para resolver essa integral, temos que lembrar que

sec^2 t = 1 + tan^2 t

Assim,

sec^4 t = sec^2 t * sec^2 t = (1 + tan^2 t) sec^2 t

Portanto,

I = (1)/(3) int_0^(pi // 4) (1 + tan^2 t) sec^2 t d t

Agora vamos fazer u = tan t => d u = sec^2 t d t . Mudando os limites de integração:

I = (1)/(3) int_0^1 (1 + u^2) d u

Passo 3

Por fim, basta fazer a integração:

I = (1)/(3) int_0^1 (1 + u^2) d u = (1)/(3) (u + (u^3)/(3))_0^1

Logo,

I = (1)/(3) (1 + (1)/(3)) = (4)/(9)

Resposta

(4)/(9)

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