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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 87

Calcule a integral definida.

int_0^(1 // 2) (x)/(sqrt(1 - 4 x^4)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^(1 // 2) (x)/(sqrt(1 - 4 x^4)) d x

Antes de qualquer coisa, você precisa reescrever a integral:

I = int_0^(1 // 2) (x)/(sqrt(1 - (2 x^2)^2)) d x

Assim, vamos a substituição: t = 2 x^2 => d t = 4 x d x . Quando x = 0 => t = 0 , já para x = (1)/(2) => t = 2 * (1)/(4) = (1)/(2) . Portanto,

I = (1)/(4) int_0^(1 // 2) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t

Passo 2

Sabemos que a primitiva de 1 // sqrt(1 - t^2) é arco seno:

I = ((1)/(4) a r c s e n t)_0^(1 // 2)

Assim,

I = (1)/(4) (a r c s e n (1)/(2) - a r c s e n 0)

Logo,

I = (1)/(4) ((pi)/(6) - 0) = (pi)/(24)

Resposta

(pi)/(24)

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