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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 53

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

53 . ∫ x 2 + a 2 x 4 d x

Passo 1

Para resolver a integral vamos realizar uma substituição trigonométrica da seguinte forma:

x = a   t g   u

d x = a sec 2 ⁡ u   d u

Nossa integral fica da seguinte maneira:

∫ x 2 + a 2 x 4 d x = ∫ a 2 t g 2 u + a 2 a 4 t g 4 u a sec 2 ⁡ u d u

= ∫ a t g 2 u + 1 a 4 t g 4 a sec 2 ⁡ u   d u

Lembrando que:

sec 2 ⁡ x = t g 2 x + 1

Assim:

∫ a t g 2 u + 1 a 4 t g 4 u a sec ⁡ u   d u = ∫ sec ⁡ u ⋅ sec 2 ⁡ u a 2 t g 4 u d u

= 1 a 2 ∫ sec 3 ⁡ u t g 4 u d u

= 1 a 2 ∫ 1 cos 3 ⁡ u ⋅ cos 4 ⁡ u s e n 4 u d u

= 1 a 2 ∫ 1 s e n 3 u ⋅ cos ⁡ u s e n   u

= 1 a 2 ∫ c o s s e c 3   u ⋅ c o t g   u d u

Passo 2

Para continuarmos vamos fazer mais uma substituição da seguinte maneira:

s = c o s s e c   u

d s = - c o t g   u ⋅ c o s s e c   u   d u

Assim nossa integral fica da forma:

1 a 2 ∫ c o s s e c 3   u ⋅ c o t g   u d u = - 1 a 2 ∫ s 2 d s

= - 1 a 2 ⋅ s 3 3 = - s 3 3 a 2

Passo 3

Agora para encontrar o resultado final temos que voltar a atrás com as substituições feitas

s = c o s s e c   u

- s 3 3 a 2 = - ( c o s s e c   u ) 3 3 a 2

Para próxima volta de variável vamos dedicar um passo para isso.

Passo 4

Temos que:

x = a   t g   u ⇒ t g   u = x a

Mas sabemos que tg é cateto oposto sobre cateto adjacente, então temos que:

c . o = x     e     c . a = a

Para saber quanto vale o sen precisamos saber quem é a hipotenusa, mas sabemos que:

c . o 2 + c . a 2 = h 2 ⇒ h 2 = x 2 + a 2 ⇒ h = x 2 + a 2

Assim:

s e n   u = c . o h ⇒ x x 2 + a 2

Usando isso para o que temos ficamos com:

c o s s e c   u = 1 s e n   u = x 2 + a 2 x

Agora podemos prosseguir com o que tínhamos antes.

Passo 5

Continuando de onde paramos no passo 3:

- c o s s e c   u 3 3 a 2 = - x 2 + a 2 x 3 3 a 2

= - x 2 + a 2 3 2 3 a 2 x 3

Resposta

∫ x 2 + a 2 x 4 d x = - x 2 + a 2 3 2 3 a 2 x 3 + c

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