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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 13

Calcule a integral indefinida:

int (2 d t)/(t sqrt(t^4 + 25))

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é uma manipulação para transformar em algo que nós conhecemos ou que pareça mais simples do que o formato inicial. Vejam só:

int (2 d t)/(t sqrt(t^4 + 25)) = int (2 t d t)/(t^2 sqrt(t^4 + 25)) = int (2 t d t)/(t^2 sqrt((t^2)^2 + 25))

Viu o que eu fiz? Apareceu t^2 e no numerador 2 t . Vamos efetuar a substituição t^2 = x , derivando nós ficamos com 2 t d t = d x . Vamos trocar a variável:

int (2 t d t)/(t^2 sqrt((t^2)^2 + 25)) = int (d x)/(x sqrt(x^2 + 25))

Opa! Virou uma integral que é resolvida pelo método da substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos x^2 + 2 = x^2 + 5^2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 5 tan theta .

Passo 3

Façamos então a substituição:

[[x,=,5,tan theta],[d,x,=,5,sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = 25 tan^2 theta -> x^2 + 25 = 25 tan^2 theta + 25 = 25 overset(sec^2 theta)(obrace (tan^2 theta + 1)) = 25 sec^2 theta .

Passo 4

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

int (d x)/(x sqrt(x^2 + 25)) = int (5 sec^2 theta d theta)/(5 tan theta sqrt(25 sec^2 theta)) = int (sec^2 theta d theta)/(tan theta 5 sec theta) = (1)/(5) int (sec theta d theta)/(tan theta)

= (1)/(5) int ((1)/(cos theta))/((sen theta)/(cos theta)) d theta = (1)/(5) int (1)/(sen theta) d theta = (1)/(5) int csc theta d theta

Aqui nós usamos int c s c theta d theta = - ln | csc theta + cot theta | + C .

(1)/(5) int csc theta d theta = - (1)/(5) ln | csc theta + cot theta | + C

Passo 5

Como a integral indefinida foi dada na variável t , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = t^2 e x = 5 tan theta , então:

int (2 d t)/(t sqrt(t^4 + 25)) = - (1)/(5) ln | csc theta + cot theta | + C

Para achar csc theta e cot theta nós olhamos o triângulo construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

csc theta = (sqrt(x^2 + a^2))/(x) = (sqrt(x^2 + 25))/(x) e cot theta = (a)/(x) = (5)/(x)

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (2 d t)/(t sqrt(t^4 + 25)) = - (1)/(5) ln |(sqrt(x^2 + 25))/(x) + (5)/(x)| + C = - (1)/(5) ln |(sqrt(x^2 + 25) + 5)/(x)| + C

= - (1)/(5) ln |(sqrt(t^4 + 25) + 5)/(t^2)| + C

Resposta

int (2 d t)/(t sqrt(t^4 + 25)) = - (1)/(5) ln |(sqrt(t^4 + 25) + 5)/(t^2)| + C

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