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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 34

Utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral.

34 –

∫ d t t g   t   4 - s e n 2 t

Passo 1

Considerando:

t g   t = cos ⁡ t s e n   t

Assim:

∫ cos ⁡ t s e n   t   4 - s e n 2 t d t

Utilizando a substituição udu:

u = s e n   t

d u = cos ⁡ t

d t = 1 d u = 1 cos ⁡ t

∫ cos ⁡ t cos ⁡ t     u 4 - u 2 d u =   ∫ d u u 4 - u 2

Passo 2

Resolvendo:

∫ d u u 4 - u 2

Utilizando a fórmula 50 da página 630:

∫ d u u a 2 - u ² = - 1 a ln ⁡ a + a 2 - u ² u

Dado: a 2 = 4 ; a = 2

Substituindo na fórmula:

∫ d u u 4 - u 2 = - 1 2 ln ⁡ 2 + 2 2 - u 2 u = - 1 2 ln ⁡ 2 + 4 - u 2 u

Passo 3

Substituindo para u = s e n   t

- 1 2 ln ⁡ 2 + 4 - s e n 2 t s e n   t + C

Resposta

- 1 2 ln ⁡ 2 + 4 - s e n 2 t s e n   t + C

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