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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 1

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(x^2 sqrt(4 - x^2))

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o sqrt(4 - x^2) e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = sqrt(4 - x^2)

t^2 = 4 - x^2

t^2 + x^2 = 2^2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin theta = (x)/(2)

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 2 sin theta e também as mudanças necessárias.

x = 2 sin theta

d x = 2 cos theta d theta

int (2 cos theta d theta)/((2 sin theta)^2 sqrt(4 - (2 sin theta)^2))

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a identidade Trigonométrica.

int (2 cos theta d theta)/(4 sin^2 theta sqrt(4 (1 - sin^2 theta)))

cos^2 theta = 1 - sin^2 theta

int (2 cos theta d theta)/(4 sin^2 theta sqrt(4 cos^2 theta))

int (2 cos theta d theta)/(4 sin^2 theta 2 cos theta)

(1)/(4) int (d theta)/(sin^2 theta)

Passo 4

Aplicando a seguinte relação csc theta = (1)/(sin theta) podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente cot theta = (sqrt(4 - x^2))/(x)

(1)/(4) int csc^2 theta d theta

- (1)/(4) cot theta + c

- (1)/(4) * (sqrt(4 - x^2))/(x) + c

Resposta

- (1)/(4) * (sqrt(4 - x^2))/(x) + c

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