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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 24

Calcule a integral

int (d t)/(sqrt(t^2 - 6 t + 13))

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Temos que

t^2 - 6 t + 13 = (t^2 - 6 t + 9) + 4 = (t - 3)^2 + 4

Agora, sugiro dizer que

t - 3 = 2 tan (theta)

Diferenciando, temos que

d t = 2 sec^2 (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

int (d t)/(sqrt(t^2 - 6 t + 13)) = int (d t)/(sqrt((t - 3)^2 + 4)) = int (2 sec^2 (theta))/(sqrt(4 tan^2 (theta) + 4)) d theta = int (2 sec^2 (theta))/(sqrt(4 (tan^2 (theta) + 1))) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan^2 (theta) + 1 = sec^2 (theta) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int (2 sec^2 (theta))/(sqrt(4 (tan^2 (theta) + 1))) d theta = int (2 sec^2 (theta))/(sqrt(4 sec^2 (theta))) d theta = int (2 sec^2 (theta))/(2 sec (theta)) d theta = int sec (theta) d theta

Passo 2

A integral é tabelada, então temos que

int sec (theta) d theta = ln |sec (theta) + tan (theta)| + c

Agora, precisamos encontrar uma expressão para sec (theta) e tan (theta) em função de t . Lembra que dissemos que

t - 3 = 2 tan (theta)

Então

tan (theta) = (t - 3)/(2)

Da integral, vimos que

sqrt(t^2 - 6 t + 13) = 2 sec (theta)

Então

sec (theta) = (sqrt(t^2 - 6 t + 13))/(2)

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para sec (theta) e tan (theta) em função de t , só falta substituirmos

ln |sec (theta) + tan (theta)| + c = ln |(sqrt(t^2 - 6 t + 13))/(2) + (t - 3)/(2)| + c = ln |sqrt(t^2 - 6 t + 13) + t - 3| - ln (2) + c

Resposta

int (d t)/(sqrt(t^2 - 6 t + 13)) = ln |sqrt(t^2 - 6 t + 13) + t - 3| - ln (2) + c

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d)int c o s (x) sen (2 x) d x
g)int c o s (x) * c o s (2 x) * c o s ( 3 x ) d x
f)int s e n (x) * s e n (2 x) * s e n ( 3 x ) d x
e)int s e n (n x) cos (m x) d x
c)int c o s (2 x) cos (x) d x