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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.8 - Ex. 1e

e) int s e n (n x) cos (m x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é a generalização de uma questão bem importante. A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b))

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

s e n (a + b) = s e n (a) * cos (b) + s e n (b) * cos (a)

s e n (a - b) = s e n (a) * cos (b) - s e n (b) * cos (a)

Somando as duas:

s e n (a + b) + s e n (a - b) = 2 * s e n (a) * cos (b)

Logo,

s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b))

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

s e n (n x) * c o s (m x) = (1)/(2) * (s e n (n x + m x) + s e n (n x - m x))

Isto é,

s e n (n x) * c o s (m x) = (1)/(2) * (s e n (( n + m ) x) + s e n (( n - m ) x))

Não esquece: int s e n (x) d x = - c o s ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = int s e n (n x) * c o s (m x) d x = int (1)/(2) * (s e n (( n + m ) x) + s e n (( n - m ) x)) d x

Logo,

I = (1)/(2) * int s e n (( n + m ) x) d x + (1)/(2) * int s e n (( n - m ) x) d x

Aqui temos que tomar um cuidado, pois n pode ser igual a m e quando formos resolver a integral iremos dividir por n - m .

Caso 1: n != m

Resolvendo, vai ficar assim:

I = (1)/(2) * - (cos ((n + m) x))/(n + m) + (1)/(2) * - (cos ((n - m) x))/(n - m) + c

Por fim, temos:

I = - (1)/(2) * ((cos ((n + m) x))/(n + m) + (cos ((n - m) x))/(n - m)) + c

Caso 2: n = m

I = (1)/(2) * int s e n ((n + m) x) d x + (1)/(2) * int s e n (0) d x = (1)/(2) * int s e n ((n + m) x) d x + 0

Logo,

I = (1)/(2) * - (cos ((n + m) x))/(n + m) = - (cos (2 n x))/(4 n) + c

Resposta

Se n != m :

- (1)/(2) * ((cos ((n + m) x))/(n + m) + (cos ((n - m) x))/(n - m)) + c

Se n = m :

- (cos (2 n x))/(4 n) + c

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