e) ∫ s e n n x cos ⁡ m x d x

Passo 1

Esse tipo de questão é a generalização de uma questão bem importante. A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

s e n a + b = s e n a ⋅ cos ⁡ b + s e n b ⋅ cos ⁡ a

s e n a - b = s e n a ⋅ cos ⁡ b - s e n b ⋅ cos ⁡ a

Somando as duas:

s e n a + b + s e n a - b = 2 ⋅ s e n a ⋅ cos ⁡ b

Logo,

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

s e n n x ⋅ c o s m x = 1 2 ⋅ s e n n x + m x + s e n n x - m x

Isto é,

s e n n x ⋅ c o s m x = 1 2 ⋅ s e n ( n + m ) x + s e n ( n - m ) x

Não esquece: ∫ s e n x   d x = - c o s ⁡ ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ s e n n x ⋅ c o s m x d x = ∫ 1 2 ⋅ s e n ( n + m ) x + s e n ( n - m ) x d x

Logo,

I = 1 2 ⋅ ∫ s e n ( n + m ) x d x + 1 2 ⋅ ∫ s e n ( n - m ) x d x

Aqui temos que tomar um cuidado, pois n pode ser igual a m e quando formos resolver a integral iremos dividir por n - m .

Caso 1: n ≠ m

Resolvendo, vai ficar assim:

I = 1 2 ⋅ - cos ⁡ n + m x n + m + 1 2 ⋅ - cos ⁡ n - m x n - m + c

Por fim, temos:

I = - 1 2 ⋅ cos ⁡ n + m x n + m + cos ⁡ n - m x n - m + c

Caso 2: n = m

I = 1 2 ⋅ ∫ s e n n + m x d x + 1 2 ⋅ ∫ s e n 0 d x = 1 2 ⋅ ∫ s e n n + m x d x + 0

Logo,

I = 1 2 ⋅ - cos ⁡ n + m x n + m = - cos ⁡ 2 n x 4 n + c

Resposta

Se n ≠ m :

- 1 2 ⋅ cos ⁡ n + m x n + m + cos ⁡ n - m x n - m + c

Se n = m :

- cos ⁡ 2 n x 4 n + c

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