f) ∫ s e n x ⋅ s e n 2 x ⋅ s e n ( 3 x ) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n a ⋅ s e n b = 1 2 ⋅ c o s a - b - c o s a + b

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

s e n a + b = s e n a ⋅ cos ⁡ b + s e n b ⋅ cos ⁡ a

s e n a - b = s e n a ⋅ cos ⁡ b - s e n b ⋅ cos ⁡ a

Somando as duas:

s e n a + b + s e n a - b = 2 ⋅ s e n a ⋅ cos ⁡ b

Logo,

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Passo 2

A estratégia vai ser utilizar essa formula de transformar produto em soma duas vezes já que temos o produto de três funções trigonométricas 😉

Com os dois primeiros termos, temos:

s e n x ⋅ s e n 2 x = 1 2 ⋅ cos ⁡ - x - cos ⁡ 3 x

Agora vamos pegar o terceiro termo:

E = s e n x ⋅ s e n 2 x ⋅ s e n 3 x = 1 2 ⋅ cos ⁡ - x - cos ⁡ 3 x ⋅ s e n ( 3 x )

Arrumando as coisas, temos:

E = 1 2 ⋅ s e n 3 x ⋅ c o s ⁡ ( - x ) - s e n 3 x ⋅ c o s ⁡ ( 3 x )

Mas,

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Utilizando na expressão E :

E = 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ s e n 2 x + s e n 4 x - 1 2 ⋅ s e n 6 x + s e n 0

Eitaa coisa feia!

E = 1 4 ⋅ s e n 2 x + s e n 4 x - s e n 6 x + 0  

Não esquece: ∫ s e n x   d x = - c o s ⁡ ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ s e n x ⋅ s e n 2 x ⋅ s e n ( 3 x ) d x = ∫ 1 4 ⋅ s e n 2 x + s e n 4 x - s e n 6 x d x

Resolvendo, temos:

I = 1 4 ⋅ - cos ⁡ 2 x 2 - cos ⁡ 4 x 4 - - cos ⁡ 6 x 6 + c

Logo,

I = - cos ⁡ 2 x 8 - cos ⁡ 4 x 16 + cos ⁡ 6 x 24 + c

Resposta

- cos ⁡ 2 x 8 - cos ⁡ 4 x 16 - cos ⁡ 6 x 24 + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados