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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.8 - Ex. 1f

f) int s e n (x) * s e n (2 x) * s e n ( 3 x ) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n (a) * s e n (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) - c o s (a + b))

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

s e n (a + b) = s e n (a) * cos (b) + s e n (b) * cos (a)

s e n (a - b) = s e n (a) * cos (b) - s e n (b) * cos (a)

Somando as duas:

s e n (a + b) + s e n (a - b) = 2 * s e n (a) * cos (b)

Logo,

s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b))

Passo 2

A estratégia vai ser utilizar essa formula de transformar produto em soma duas vezes já que temos o produto de três funções trigonométricas 😉

Com os dois primeiros termos, temos:

s e n (x) * s e n (2 x) = (1)/(2) * (cos (- x) - cos (3 x))

Agora vamos pegar o terceiro termo:

E = s e n (x) * s e n (2 x) * s e n (3 x) = (1)/(2) * (cos (- x) - cos (3 x)) * s e n ( 3 x )

Arrumando as coisas, temos:

E = (1)/(2) * (s e n (3 x) * c o s ( - x ) - s e n (3 x) * c o s ( 3 x ))

Mas,

s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b))

Utilizando na expressão E :

E = (1)/(2) * ((1)/(2) * (s e n (2 x) + s e n (4 x)) - (1)/(2) * (s e n (6 x) + s e n (0)))

Eitaa coisa feia!

E = (1)/(4) * (s e n (2 x) + s e n (4 x) - s e n (6 x) + 0)

Não esquece: int s e n (x) d x = - c o s ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = int s e n (x) * s e n (2 x) * s e n ( 3 x ) d x = int (1)/(4) * (s e n (2 x) + s e n (4 x) - s e n (6 x)) d x

Resolvendo, temos:

I = (1)/(4) * (- (cos (2 x))/(2) - (cos (4 x))/(4) - (- cos (6 x))/(6)) + c

Logo,

I = - (cos (2 x))/(8) - (cos (4 x))/(16) + (cos (6 x))/(24) + c

Resposta

- (cos (2 x))/(8) - (cos (4 x))/(16) - (cos (6 x))/(24) + c

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