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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.8 - Ex. 1g

g) int c o s (x) * c o s (2 x) * c o s ( 3 x ) d x

Passo 1

Essa questão é casca grossa, então vamos com calma! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

c o s (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (c o s (a + b) + c o s (a - b))

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

c o s (a - b) = c o s (a) * cos (b) + s e n (a) * sen (b)

c o s (a + b) = c o s (a) * cos (b) - s e n (a) * sen (b)

Somando as duas:

c o s (a - b) + c o s (a + b) = 2 * c o s (a) * cos (b)

Logo,

c o s (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) + c o s (a + b))

Passo 2

A estratégia vai ser utilizar essa formula de transformar produto em soma duas vezes já que temos o produto de três funções trigonométricas 😉

Com os dois primeiros termos, temos:

c o s (x) * c o s (2 x) = (1)/(2) * (cos (- x) + cos (3 x))

Agora vamos pegar o terceiro termo:

E = c o s (x) * c o s (2 x) * c o s ( 3 x ) = (1)/(2) * (cos (- x) + cos (3 x)) * c o s ( 3 x )

Arrumando as coisas, temos:

E = (1)/(2) * (c o s (3 x) * c o s (- x) + c o s (3 x) * c o s ( 3 x ))

Utilizando novamente na expressão E :

E = (1)/(2) * ((1)/(2) * (c o s (2 x) + c o s (4 x)) + (1)/(2) * (c o s (6 x) + c o s (0)))

Arrumando a casa:

E = (1)/(4) * (c o s (2 x) + c o s (4 x) + c o s (6 x) + 1)

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = int c o s (x) * c o s (2 x) * c o s ( 3 x ) d x = int (1)/(4) * (c o s (2 x) + c o s (4 x) + c o s (6 x) + 1) d x

Resolvendo, temos:

I = (1)/(4) * ((sen (2 x))/(2) + (sen (4 x))/(4) + (sen (6 x))/(6) + x) + c

Logo,

I = (sen (2 x))/(8) + (sen (4 x))/(16) + (sen (6 x))/(24) + (x)/(4) + c

Resposta

(sen (2 x))/(8) + (sen (4 x))/(16) + (sen (6 x))/(24) + (x)/(4) + c

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