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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.8 - Ex. 1d

d) int c o s (x) sen (2 x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b))

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

s e n (a + b) = s e n (a) * cos (b) + s e n (b) * cos (a)

s e n (a - b) = s e n (a) * cos (b) - s e n (b) * cos (a)

Somando as duas:

s e n (a + b) + s e n (a - b) = 2 * s e n (a) * cos (b)

Logo,

s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b))

Repara que podemos escrever c o s (x) * sen (2 x) como sen (2 x) * c o s (x) e usar essa relação aqui de cima. Viu?!

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

sen (2 x) * c o s (x) = (1)/(2) * (s e n (2 x + x) + s e n (2 x - x))

Isto é,

s e n (7 x) * c o s (2 x) = (1)/(2) * (s e n (3 x) + s e n (x))

Não esquece: int s e n (x) d x = - c o s ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = int s e n (2 x) cos (x) d x = int (1)/(2) * (s e n (3 x) + s e n (x)) d x = (1)/(2) * int (s e n (3 x) + s e n (x)) d x

Logo,

I = (1)/(2) * int s e n (3 x) d x + (1)/(2) * int s e n (x) d x = (1)/(2) * - (cos (3 x))/(3) + (1)/(2) * - (cos (x))/(1) + c

Por fim, temos:

I = - (cos (3 x))/(6) - (cos (x))/(2) + c

Resposta

- (cos (3 x))/(6) - (cos (x))/(2) + c

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