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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 10

Calcule a integral

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 2)) d t

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

t = sqrt(2) tan (theta)

Se diferenciarmos, ficamos com

d t = sqrt(2) sec^2 (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

Passo 2

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 2)) d t = int ((sqrt(2) tan (theta))^5)/(sqrt((sqrt(2) tan (theta))^2 + 2)) * sqrt(2) sec^2 (theta) d theta

= int (4 sqrt(2) tan^5 (theta))/(sqrt(2 tan^2 (theta) + 2)) sqrt(2) sec^2 (theta) d theta

= int (4 sqrt(2) tan^5 (theta))/(sqrt(2 (tan^2 (theta) + 1))) sqrt(2) sec^2 (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan^2 (theta) + 1 = sec^2 ( theta ) ?!

Vamos usá-la, então, substituindo

int (4 sqrt(2) tan^5 (theta))/(sqrt(2 (tan^2 (theta) + 1))) sqrt(2) sec^2 (theta) d theta = int (4 sqrt(2) tan^5 (theta))/(sqrt(2 sec^2 (theta))) sqrt(2) sec^2 (theta) d theta

Retirando da raiz

= int (4 sqrt(2) tan^5 (theta))/(sqrt(2) sec (theta)) sqrt(2) sec^2 (theta) d theta

= 4 sqrt(2) int tan^5 (theta) sec (theta) d theta

= 4 sqrt(2) int tan^4 (theta) sec (theta) tan (theta) d theta

= 4 sqrt(2) int (tan^2 (theta))^2 sec (theta) tan (theta) d theta

= 4 sqrt(2) int (sec^2 (theta) - 1)^2 sec (theta) tan (theta) d theta

Passo 3

Vamos resolver a integral pelo método da substituição.

Seja u = sec (theta) , temos que d u = sec (theta) tan (theta) d theta . Substituindo, ficamos com

4 sqrt(2) int (sec^2 (theta) - 1)^2 sec (theta) tan (theta) d theta = 4 sqrt(2) int (u^2 - 1)^2 d u

= 4 sqrt(2) int (u^4 - 2 u^2 + 1) d u

= 4 sqrt(2) [(1)/(5) u^5 - (2)/(3) u^3 + u] + c

= (4 sqrt(2))/(15) u (3 u^4 - 10 u^2 + 15) + c

= (4 sqrt(2))/(15) sec (theta) (3 sec^4 (theta) - 10 sec^2 (theta) + 15) + c

Agora precisamos voltar para a variável original.

Se lembra que dizemos que:

t = sqrt(2) tan (theta)

E

sqrt(t^2 + 2) = sqrt(2) sec (theta)

Lembra?! Então, podemos encontrar uma expressão para a sec (theta)

sec (theta) = (sqrt(t^2 + 2))/(sqrt(2))

Passo 4

Agora, que encontramos uma epressão para a sec (theta) podemos substituir

(4 sqrt(2))/(15) sec (theta) (3 sec^4 (theta) - 10 sec^2 (theta) + 15) + c =

= (4 sqrt(2))/(15) * (sqrt(t^2 + 2))/(sqrt(2)) (3 * ((t^2 + 2)^2)/(2^2) - 10 * (t^2 + 2)/(2) + 15) + c

= (4)/(15) sqrt(t^2 + 2) ((3)/(4) (t^2 + 2)^2 - 5 (t^2 + 2) + 15) + c

Resposta

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 2)) d t = (4)/(15) sqrt(t^2 + 2) ((3)/(4) (t^2 + 2)^2 - 5 (t^2 + 2) + 15) + c

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3) Calcule int_(- pi)^(pi) s e n (n x) s e n (m x) d x , sendo m e n naturais não-nulos.
b)int s e n (x) cos^2 (x) d x