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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 9

Calcule a integral.

int (d x)/(sqrt(x^2 + 16)) d x

Passo 1

Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver esse problema.

Aqui vamos resolver essa integral indefinida. Para isso vamos utilizar de uma substituição trigonométrica, e a tabela abaixo eu creio que irá te ajudar.

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

Passo 2

A gente tem que x = 4 tg theta , e theta varia no seguinte intervalo: - (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2) .

Assim, se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = 4 sec^2 theta d theta .

Agora, achando o valor do nosso cateto sqrt(x^2 + 16) por meio da substituição de x , temos:

sqrt(x^2 + 16)

= sqrt((4 tg theta)^2 + 16)

= sqrt(16 tg^2 theta + 16)

= sqrt(16 (tg^2 theta - 1))

= sqrt(16 sec^2 theta)

= 4 |sec theta|

= 4 sec theta

para os valores relevantes de theta .

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

int (d x)/(sqrt(x^2 + 16)) d x = int (4 sec^2 theta d theta)/(4 sec theta)

= int sec theta d theta = ln | sec theta + tg theta | + C_1

Agora voltando para a variável original:

ln |(sqrt(x^2 + 16))/(4) + (x)/(4)| + C_1

= ln |sqrt(x^2 + 16) + x| - ln |4| + C_1

= ln ( sqrt(x^2 + 16) + x ) + C

Onde C = C_1 - ln 4 .

Como sqrt(x^2 + 16) + x > 0 , nós não precisamos do valor absoluto.

Resposta

ln ( sqrt(x^2 + 16) + x ) + C .

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