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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 71

Calcule a integral

int (e^(2 x))/(1 + e^x) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição para resolver a integral

u = e^x ; x = ln u ; d x = d u // u

int (e^(2 x))/(1 + e^x) d x = int (u^2)/(1 + u) ((d u)/(u))

Podemos então escrever a integral da seguinte maneira

int (u^2)/(u + u^2) d u = int (u)/(1 + u) d u = int (1 - (1)/(1 + u)) d u

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

int (1 - (1)/(1 + u)) d u = u - ln |u + 1| + C

Voltando para x , temos

u - ln |u + 1| + C = e^x - ln |e^x + 1| + C

Resposta

int (e^(2 x))/(1 + e^x) d x = e^x - ln |e^x + 1| + C

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