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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 5

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 1 t 3 1 + t 4 3 d t
  2. ∫ - 1 1 t 3 1 + t 4 3 d t

Passo 1

Vamos começar relembrando do Teorema 7:

∫ a b f g x ∙ g ' x d x = ∫ g a g b f u d u

Assim, faremos uma mudança de variável:

u = 1 + t 4

Derivando dos dois lados:

d u = 0 + 4 t 3 d t

d u 4 = t 3 d t

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

t = 0 → u = 1 + 0 4 = 1

t = 1 → u = 1 + 1 4 = 2

Assim,

∫ 0 1 t 3 1 + t 4 3 d t = ∫ 0 1 1 + t 4 3 t 3 d t = ∫ 1 2 u 3 d u 4

Calculando a integral:

1 4 ∫ 1 2 u 3 d u = 1 4 u 4 4 1 2 = 1 4 2 4 4 - 1 4 4 = 1 4 16 4 - 1 4 = 15 16

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

t = - 1 → u = 1 + - 1 4 = 2

t = 1 → u = 1 + 1 4 = 2

Assim,

1 4 ∫ 2 2 u 3 d u = 0

Resposta

  1. 15 / 16
  2. 0
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