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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 66

Calcule a integral

int_(pi // 4)^(pi // 3) (ln (t g x))/(s e n x cos x) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

int_(pi // 4)^(pi // 3) (ln (t g x))/(s e n x cos x) d x = int_(pi // 4)^(pi // 3) (ln (t g x))/(t g x) sec^2 x d x

Fazendo a seguinte substituição, temos

u = t g x ; d u = sec^2 x d x

int_(pi // 4)^(pi // 3) (ln (t g x))/(t g x) sec^2 x d x = int_1^(sqrt(3)) (ln (u))/(u) d u

Passo 3

Resolvendo a integral em u , temos

int_1^(sqrt(3)) (ln (u))/(u) d u = [(1)/(2) (ln u)^2]_1^(sqrt(3)) = (1)/(8) (ln 3)^2

Resposta

int_(pi // 4)^(pi // 3) (ln (t g x))/(s e n x cos x) d x = (1)/(8) (ln 3)^2

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