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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 20

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 π / 4 1 - sin ⁡ 2 t 3 / 2 cos ⁡ 2 t d t

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável:

u = 1 - sin ⁡ 2 t

Derivando dos dois lados:

d u = 0 - cos ⁡ 2 t ∙ 2 t ' d t

d u = - 2 cos ⁡ 2 t d t

- d u 2 = cos ⁡ t d t

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

t = 0 → u = 1 - sin ⁡ 2 ∙ 0 = 1

t = π / 4 → u = 1 - sin ⁡ 2 ∙ π 4 = 0

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 π / 4 1 - sin ⁡ 2 t 3 / 2 cos ⁡ 2 t d t = - ∫ 1 0 u 3 2 d u 2

Calculando a integral:

- 1 2 ∫ 1 0 u 3 2 d u = - 1 2 u 5 2 5 2 1 0 = - 1 2 2 u 5 / 2 5 1 0 = - u 5 2 5 1 0

- 1 2 ∫ 1 0 u 3 2 d u = - 0 5 2 5 - - 1 5 2 5 = 0 + 1 5 = 1 5

Prontinho!!!

Resposta

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