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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 41

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ 9 16 x x - 4 d x

Passo 1

A questão pede para fazermos uma substituição racionalizante para daí usar frações parciais e calcular a integral. Oi, como assim? Caaaalma gafanhoto. Esse tipo de substituição nada mais é do que uma substituição simples da qual nos aproveitamos da seguinte propriedade:

u = x

d u d x = 1 2 x

d u d x = 1 2 u

d x = 2 u   d u

Isso ajuda a gente porque a expressão de d x em função de d u não fica com nenhum termo de x pendurado. Também ajuda a gente no interior da integral porque podemos fazer:

u = x

u 2 = x

Fechando então tudo que precisamos para reescrever a integral:

∫ x x - 4 d x = ∫ u u 2 - 4 ∙ 2 u   d u

∫ x x - 4 d x = 2 ∫ u 2 u 2 - 4   d u

∫ x x - 4 d x = 2 ∫ u 2 - 4 + 4 u 2 - 4   d u

∫ x x - 4 d x = 2 ∫ u 2 - 4 u 2 - 4   d u + ∫ 4 u 2 - 4   d u

∫ x x - 4 d x = 2 ∫ 1   d u + ∫ 8 u 2 - 4   d u

∫ x x - 4 d x = 2 u + ∫ 8 u 2 - 4   d u

Vamos então partir daqui mas esquecendo por enquanto os limites de integração, beleza? Depois a gente volta pra eles!

Passo 2

Note que, como nós temos no interior da integral uma divisão de polinômios, podemos usar frações parciais! Sendo o denominador uma diferença de quadrados, usando o devido produto notável, podemos reescrever a função de u a se integrar para:

8 u 2 - 4 = 2 u 2 ( u - 2 ) ( u + 2 ) = A u - 2 + B u + 2

8 ( u - 2 ) ( u + 2 ) = A ( u + 2 ) ( u - 2 ) ( u + 2 ) + B ( u - 2 ) ( u - 2 ) ( u + 2 )

2 u 2 u - 2 u + 2 = A u + 2 A + B u - 2 B u - 2 u + 2

0 u + 8 ( u - 2 ) ( u + 2 ) = A + B u + 2 A - 2 B u - 2 u + 2

Daí tiramos que:

A + B = 0 2 A - 2 B = 8 → A = 2 B = - 2

E logo, a nossa integral fica:

∫ x x - 4 d x = 2 u + ∫ 8 u 2 - 4   d u

∫ x x - 4 d x = 2 u + ∫ A u - 2 + B u + 2   d u

∫ x x - 4 d x = 2 u + ∫ A u - 2   d u + ∫ B u + 2   d u

∫ x x - 4 d x = 2 u + ∫ 2 u - 2   d u - ∫ 2 u + 2   d u

∫ x x - 4 d x = 2 u + 2 ln ⁡ u - 2 - 2 ln ⁡ u + 2

∫ x x - 4 d x = 2 u + 2 ln ⁡ u - 2 u + 2

∫ x x - 4 d x = 2 u + ln ⁡ u - 2 u + 2

Passo 3

Agora é a hora que a gente volta pra variável original e aplica os limites de integração. Como:

u = x

Vamos ter:

∫ x x - 4 d x = 2 x + ln ⁡ x - 2 x + 2

E logo:

∫ 9 16 x x - 4 d x = 2 x + ln ⁡ x - 2 x + 2 x = 9 x = 16

∫ 9 16 x x - 4 d x = 2 16 + ln ⁡ 16 - 2 16 + 2 - 2 9 + ln ⁡ 9 - 2 9 + 2

∫ 9 16 x x - 4 d x = 2 4 + ln ⁡ 4 - 2 4 + 2 - 2 3 + ln ⁡ 3 - 2 3 + 2

∫ 9 16 x x - 4 d x = 2 4 + ln ⁡ 2 6 - 2 3 + ln ⁡ 1 5

∫ 9 16 x x - 4 d x = 8 + 2 ln ⁡ 1 3 - 6 + 2 ln ⁡ 1 5

∫ 9 16 x x - 4 d x = 8 + ln ⁡ 1 3 2 - 6 + ln ⁡ 1 5 2

∫ 9 16 x x - 4 d x = 8 + ln ⁡ 1 9 - 6 + ln ⁡ 1 25

∫ 9 16 x x - 4 d x = 8 + ln ⁡ 1 9 - 6 - ln ⁡ 1 25

∫ 9 16 x x - 4 d x = 2 + ln ⁡ 1 9 1 25

∫ 9 16 x x - 4 d x = 2 + ln ⁡ 25 9

Resposta

∫ 9 16 x x - 4 d x = 2 + ln ⁡ 25 9

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