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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 32

Calcule a integral.

int (sqrt(2 x - 1))/(2 x + 3) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, podemos tentar fazer com que u seja a expressão do numerador, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sqrt(2 x - 1) -> u^2 = 2 x - 1 -> x = (u^2 + 1)/(2)

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = 2 d x -> d x = u d u

Fazendo a substituição ficamos com:

int (sqrt(2 x - 1))/(2 x + 3) d x = int (u . u)/(2 ((u^2 + 1)/(2)) + 3) d u = int (u^2)/(u^2 + 4) d u = int 1 - (4)/(u^2 + 4) d u = int 1 d u + int - (4)/(u^2 + 4) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos calcular as duas integrais separadamente:

A primeira é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Então ficamos com:

int 1 d u = u + C

A segunda é parecida com uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (d x)/(x^2 + a^2) = (1)/(a) tg^(- 1) ((x)/(a))

Vamos manipular um pouco para poder usar:

int - (4)/(u^2 + 4) d u = - 4 int (1)/(u^2 + 2^2) d u = - 4 * (1)/(2) tg^(- 1) ((u)/(2)) + C = - 2 tg^(- 1) ((u)/(2)) + C

Vamos agora juntar:

int 1 d u + int - (4)/(u^2 + 4) d u = u - 2 tg^(- 1) ((u)/(2)) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = sqrt(2 x - 1) :

int (sqrt(2 x - 1))/(2 x + 3) d x = u - 2 tg^(- 1) ((u)/(2)) + C = sqrt(2 x - 1) - 2 tg^(- 1) ((sqrt(2 x - 1))/(2)) + C

Resposta

int (sqrt(2 x - 1))/(2 x + 3) d x = sqrt(2 x - 1) - 2 tg^(- 1) ((sqrt(2 x - 1))/(2)) + C

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