Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 6

Calcule a integral.

int co s^3 a t d t

Passo 1

Sendo a nossa integral:

int cos^3 a t d t

Podemos usar a identidade trigonométrica que diz sen^2 x + cos^2 x = 1 :

Então se x = a t :

int cos^3 a t d t = int ( 1 - sen^2 at ) cos a t d t

Multiplicando, temos:

int co s^3 a t d t = int co s a t - s en^2 a t cos a t d t

Podemos separar a integral em:

int cos^3 a t d t = int cos a t d t - int s en^2 a t co s a t d t

Passo 2

Vamos resolver utilizando substituições, começando pela integral:

int cos a t d t

Onde u = a t e (d u)/(a) = d t :

int co s a t d t = int cos u . (d u)/(a) = (1)/(a) sen u

Substituindo u , teremos:

int cos a t d t = (1)/(a) s en a t

Passo 3

Resolvendo a outra integral, teremos:

int sen^2 at cos a t d t

Chamaremos:

u = sen a t

(d u)/(a) = cos a t

Aplicando em substituição do tipo u d u , teremos:

int sen^2 at cos a t d t = int (u^2 d u)/(a)

int sen^2 at cos a t d t = [(1 u^3)/(a . 3)] + C

Substituindo u , temos:

int sen^2 at cos a t d t = (s en^3 a t)/(3 a) + C

Retornando a integral principal, temos:

int cos^3 a t d t = int cos a t d t - int sen^2 at cos a t d t

int cos^3 a t d t = (1)/(a) sen a t - (sen^3 a t)/(3 a) + C

Resposta

int cos^3 a t d t = (1)/(a) sen a t - (sen^3 a t)/(3 a) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ sen ⁡ 8 x cos ⁡ 5 x d x
Calcule a integral definida. ∫ - 1 1 cosh ⁡ x - senh ⁡ x d x
Calcule a integral definida. ∫ 0 2 senh 3 ⁡ x cosh ⁡ x d x
Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida. 3 7 .∫ s e nxd x 1 + cos 2 ⁡ x
Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida. 21 .∫ s e n 4( 3 x ) ⋅ cos 2 ⁡ 3 x d x