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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 47

Calcule a integral definida.

int_0^2 (senh^3 x cosh x) d x

Passo 1

Para resolvermos a integral definida, primeiro temos que achar a integral intefinida

int (senh^3 x cosh x) d x

E depois usamos o teorema da variação total.

Vamos usar o método da substituição. Isso porque

(senh x)^' = cosh x

Então, fazendo:

senh x = u -> cosh x d x = d u

Substituindo na nossa integral:

int u^3 d u = (u^4)/(4) + C

Voltando para x , vamos encontrar:

int (senh^3 x cosh x) d x = (senh^4 x)/(4) + C

Passo 2

Agora vamos ao teorema da variação total:

int_0^2 (senh^3 x cosh x) d x = ((senh^4 x)/(4) + C|_(x = 0)^(x = 2) = ((senh^4 2)/(4) + C) - ((senh^4 0)/(4) + C) =

(senh^4 2)/(4) - (senh^4 0)/(4)

Lembrando que:

senh x = (e^x - e^(- x))/(2)

Vamos ter:

senh 2 = (e^2 - e^(- 2))/(2)

senh 0 = (e^0 - e^0)/(2) = 0

Substituindo na nossa expressão:

(senh^4 2)/(4) - (senh^4 0)/(4) = (((e^2 - e^(- 2))/(2))^4)/(2) - 0 = ((e^2 - e^(- 2))^4)/(32)

Resposta

((e^2 - e^(- 2))^4)/(32)

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