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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 46

Calcule a integral definida.

int_(- 1)^1 (cosh x - senh x) d x

Passo 1

Para resolvermos a integral definida, primeiro temos que achar a integral intefinida

int (cosh x - senh x) d x

E depois usamos o teorema da variação total.

Aqui, usando as propriedades de integrais, vamos ter:

int (cosh x - senh x) d x = int (cosh x) d x - int (senh x) d x

Lembrando que:

int (cosh x) d x = senh x + C

E

int senh x d x = cosh x + C

Vamos encontrar:

int (cosh x - senh x) d x = int (cosh x) d x - int (senh x) d x = senh x - cosh x + C

Passo 2

Agora vamos ao teorema da variação total:

int_(- 1)^1 (cosh x - senh x) d x = (senh x - cosh x + C|_(x = - 1)^(x = 1) =

(senh 1 - cosh 1 + C) - (senh (- 1) - cosh (- 1) + C) =

senh (1) - cosh (1) - senh (- 1) + cosh (- 1)

Lembrando que:

senh x = (e^x - e^(- x))/(2)

cosh x = (e^x + e^(- x))/(2)

Vamos ter:

senh 1 = (e - e^(- 1))/(2)

senh (- 1) = (e^(- 1) - e)/(2)

cosh 1 = (e + e^(- 1))/(2)

cosh (- 1) = (e^(- 1) + e)/(2)

Substituindo na nossa expressão:

senh (1) - cosh (1) - senh (- 1) + cosh (- 1) = ((e - e^(- 1))/(2)) - ((e + e^(- 1))/(2)) - ((e^(- 1) - e)/(2)) + ((e^(- 1) + e)/(2))

(e - e^(- 1) - e - e^(- 1) - e^(- 1) + e + e^(- 1) + e)/(2) = (2 e - 2 e^(- 1))/(2) = e - e^(- 1)

Resposta

e - e^(- 1)

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